Артистические способности у Алексея Гришина стали проявляться еще в детские годы. Сидя у костра в пионерском лагере с друзьями и пионервожатой он легко мог перевоплотиться в любой образ и увлекательно рассказать историю. Несмотря на это первая попытка Алексея поступить в театральное оказалась тщетной. Разглядел будущую звезду российского кинематографа знаменитый актер и режиссер Олег Табаков. Алексей Гришин навсегда запомнил слова великого мастера о театре и даже сделал их девизом своей жизни - «За счастье выходить на сцену я готов еще и приплачивать».